683. Series infinitas. RESOLUCIÓN

    Profe, mire:

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1

 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + ... = 1/2

 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... = 1/3

    Pepe Chapuzas había partido de dos cuadrados y un triángulo de área 1. Pregunté a los demás alumnos si admitían los dibujos como prueba de los cálculos de las sumas infinitas...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla aplicó la fórmula de la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica:

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...  =  1/2 + (1/2)² + (1/2)³ + (1/2)⁴ + ...  =  (1/2) / (1–1/2)  =  1

1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + ...  =  1/3 + (1/3)² + (1/3)³ + (1/3)⁴ + ...  =  (1/3) / (1–1/3)  =  1/2

1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ...  =  1/4 + (1/4)² + (1/4)³ + (1/4)⁴ + ...  =  (1/4) / (1–1/4)  =  1/3

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso escribió 1 en base 2, 1/2 en base 3 y 1/3 en base 4, como números periódicos (que es como escribir 1/9 = 0,1111... en base 10):

1  =  0,1111...₂  =  0,1₂ + 0,01₂ + 0,001₂ + 0,0001₂ + ...  =  1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

1/2  =  0,1111...₃  =  0,1₃ + 0,01₃ + 0,001₃ + 0,0001₃ + ...  =  1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + ...

1/3  =  0,1111...₄  =  0,1₄ + 0,01₄ + 0,001₄ + 0,0001₄ + ...  =  1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ...