martes, 17 de mayo de 2016

998. Un semicírculo tricolor. RESOLUCIÓN

    Si el área roja mide 60 centímetros cuadrados, ¿cuánto mide el área amarilla?
    Pepe Chapuzas le ha propuesto este reto a su clase... y ahora te lo propongo yo a ti...
    Resuélvelo y me mandas la solución bien explicada... y te llevarás un positivo.

SOLUCIÓN

    Lo primero que hizo Nina Guindilla es averiguar la relación que había entre el círculo azul y los círculos amarillos...
    Mire, profe. Si R es el radio del círculo azul y r es el radio de los círculos amarillos, podemos aplicar el teorema de Pitágoras en los triángulos celeste y rosado, que comparten un cateto...
(2R–r)2–r2 = (R+r)2–(R–r)2
4R2–4rR+r2–r2 = R2+2rR+r2–R2+2rR–r2
4R2–4rR = 4rR
4R = 8r
R = 2r
    Por lo tanto el área azul es el doble del área amarilla. Por otro lado, el radio del semicírculo tricolor es 2R, por lo que el área del semicírculo es el doble del área azul y el cuádruple del área amarilla. Así pues,
(Área roja) = (Semicírculo) – (Área azul) – (Área Amarilla) =
= 4·(Área amarilla) – 2·(Área amarilla) – (Área amarilla) = (Área amarilla)
    ¡Las áreas amarilla y roja miden lo mismo! Solución: Área amarilla = 60 cm2.

    Nina ha propuesto el mismo enunciado que Pepe... Solo cambia el dibujo...
    Si el área roja mide 60 centímetros cuadrados, ¿cuánto mide el área amarilla?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso dibujó líneas adicionales...

    Profe, mire. En (R–r)/(R+r) = sen30º = 1/2, por lo que R+r = 2R – 2r, esto es, R = 3r, por lo que el área azul es el triple del área amarilla. El círculo azul está inscrito en el triángulo equilátero por lo que el área de este será igual a 33R2 = 273r2, y el área amarilla es 3πr2. Por lo tanto...
(Área roja) = (Triángulo) – (Área amarilla) – (Área azul) =
= (93:π)·(Área amarilla) – (Área amarilla) – 3·(Área amarilla) =
= (93:π – 4)·(Área amarilla)
    En conclusión, el área amarilla mide 60:(93:π – 4) = 62,37cm2. ¡Un poquito mayor que el área roja! 

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