miércoles, 4 de mayo de 2016

972. Complejos sin palabras... RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas está aprendiendo símbolos matemáticos...

    Profe, mire. Si escribo el enunciado de un problema en castellano solo lo entienden los que sepan castellano, pero si utilizo símbolos, lo puede entender todo el mundo... Bueno..., todo el mundo que controle los símbolos matemáticos, se entiende...

    Como ejemplo propuso el siguiente ejercicio de números complejos. Aunque a Pepe se le ha escapado un detalle que lo delata como hispanohablante: el signo de interrogación "¿".

    Veamos si entiendes este ejercicio sin palabras y lo resuelves... pero con palabras.

SOLUCIÓN
    Nina Guindilla sabía que las siete raíces séptimas de un número complejo eran los siete vértices de un heptágono regular centrado en el punto 0. (En el plano complejo se identifican puntos y números.)

    Profe, lo primero que te piden es la suma (letra sigma) de las siete raíces séptimas. No hace falta calcularlas para saber que la suma es 0. Esto se deduce de la simetría radial del polígono regular... Pero (para el que no lo crea) si sumamos las raíces como los vectores (encadenándolos de modo que el extremo de un vector coincide con el origen del siguiente) obtenemos un heptágono, o sea, una cadena cerrada, lo cual quiere decir que la suma es nula.
    Lo segundo, es el producto (letra pi) de las siete raíces. El argumento del producto será la suma de los argumentos de las raíces. Debido a la simetría axial (eje real) la suma de los argumentos será 0º (o equivalente) si el número de raíces (índice de la raíz) es impar como en nuestro caso, pero será 180º (o equivalente) si el número de raíces es par. El módulo  del producto será el producto de los módulos de las raíces, o sea, la séptima potencia de la raíz séptima de 7, o sea, 7. El resultado final es por lo tanto 7 = 7.
   
    Calcula el producto de las 8 raíces octavas de 8.

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso quería aclarar lo que Nina había asegurado acerca de la suma de argumentos de las raíces...

    Mire, profe. Estamos calculando el producto de las raíces complejas de un número real positivo... Esto se entiende bien si tomamos argumentos en (180º,180º]. Si el índice de la raíz es impar, cada argumento positivo se anula con otro negativo y la suma es 0º. Si el índice es par, los argumentos positivos se anulan excepto 180º por lo que la suma es 0º + 180º = 180º. El producto de las 8 raíces octavas de 8 será por tanto 8180º = 8.

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