sábado, 21 de mayo de 2016

656. Arte de brujería. RESOLUCIÓN

    Estábamos viendo la simetría rotacional... Mostré conjuntos que eran idénticos a los que se obtenían rotándolos un cierto ángulo propio (mayor que 0º y menor que 360º). Como la estrella de cinco puntas... que girada 72º alrededor de su centro, se quedaba igualita que estaba...
    Al día siguiente vino Pepe Chapuzas con una de sus brujerías...

    Mire, profe. Imagínese el conjunto de puntos {(cos n, sen n)}, esto es, los puntos de la circunferencia unidad cuyos argumentos en radianes son números naturales n (n=1,2,3,...).
    En esta sucesión de puntos no hay dos coincidentes (es inyectiva) y hay puntos de la circunferencia unidad que no pertenecen a la sucesión (no es suprayectiva)... Ahora giremos este conjunto de puntos, con centro de giro el origen (0, 0) y ángulo de giro α = 31416 – 10000·π radianes. Este ángulo α es pequeñito (aproximadamente 4º12'33")... pero matón... Mire, al rotar, el punto que se hallaba en (cos n, sen n) se situará en (cos(n+α), sen(n+α))... Calculemos:
(cos(n+α), sen(n+α)) =
= (cos(n+31416–10000·π), sen(n+31416–10000·π)) =
= (cos(n+31416), sen(n+31416)).
    O sea que, solo por girar un poquito..., el conjunto {(cos n, sen n)} se convierte en el conjunto  {(cos(n+31416), sen(n+31416))}... ¿Se da cuenta?, ¡con el minúsculo giro desaparecen 31416 puntos del conjunto (los 31416 primeros puntos de la sucesión)! ¡Esto es arte de brujería!.

    ¡Cuando Pepe Chapuzas hace de brujo...!
    Comprueba que el punto (0, 1) no pertenece a la sucesión.
    Comprueba que no hay dos puntos coincidentes en la sucesión.

SOLUCIÓN

    Se era asunto de brujería..., allí aparecía Nina Guindilla.

    Profe, mire. El punto (0, 1) está en la misma circunferencia que los infinitos puntos del conjunto de Pepe: la circunferencia unidad. Sin embargo no es uno de ellos porque si sen(n) = 1 entonces n = (2k+1/2)·π para algún k entero. Pero en ese caso π = n/(2k+1/2) sería un número racional... En fin, no ofendamos a π... que bien merecida tiene su reputación de irracional...
    Si hubiera dos puntos coincidentes (cos n, sen n) = (cos m, sen m), con n y m distintos, entonces n–m = 2k·π, para algún k entero no nulo, y π = (n–m)/(2k)... ¡Infamia, humillación y deshonra para π!

    Más brujería... Encuentra un ángulo de giro menor que α con el que desaparezcan más puntos del conjunto de Pepe que con α...

RESOLUCIÓN

    El disfraz de bruja de Yoyó Peluso era perfecto... Disfrazada de esta manera, Yoyó consiguió el ángulo b = 9424778 - 3000000·π radianes (= 2º31'14" aproximadamente) con el que lograba hacer desaparecer 9424778 puntos...


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