773. Un polinomio terrible. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas ha propuesto desarrollar el siguiente producto de binomios. ¡Pero que nadie se asuste! La solución es mucho más fácil de lo que parece a simple vista.

SOLUCIÓN

 

    Nina Guindilla no se asusta tan fácilmente... ¡Y menos por un polinomio!

 

    Profe, mire. Viendo como van las letras, el antepenúltimo binomio es x–x=0, y como es un factor nulo, el producto final vale 0 evidentemente... Por cierto, hay una cosa que no me cuadra... Un número distinto de 0 es un polinomio que solo tiene término independiente: sería un polinomio de grado 0. La regla del grado de un producto (igual a la suma de los grados de los factores) se cumple: si K es un número distinto de 0 y si gr(P(x)) = p, entonces

gr(K·P(x)) = gr(K)+gr(P(x)) = 0+p = p.

    Pero si K = 0, entonces 

gr(0) = gr(0·P(x)) = gr(0)+gr(P(x)) = gr(0)+p...

    Por lo que a la fuerza sería p = 0, lo cual es absurdo...

 

    Nina no admite reglas con excepciones. Para ella eso de "la excepción que confirma la regla" tendría que ser sustituido por "la excepción que anula la regla" o "el contraejemplo"...

    ¿Cómo podría arreglarse esto para no invalidar la regla? ¿Cuál es el grado de 0?

 

RESOLUCIÓN

 

    A Yoyó Peluso, el grado de 0 le recordaba a las indeterminaciones de los límites...

 

    Mire, profe. Si gr(0) = –∞, se cumpliría la regla ya que  –∞+p = –∞. No valdría ∞ porque el grado de una suma no puede ser mayor que el grado de cada sumando (y el polinomio 0 es suma de dos polinomio opuestos), sin embargo, –∞  es menor que cualquier otro grado...